Tiedä, kuinka maa- ja ympäristöinsinöörit ymmärtävät ohuiden rakenteiden mekaniikan ja kuinka he käyttävät geometriaa tutkiakseen muodonmuutosprosessia. Massachusettsin teknillinen instituutti (Britannica Publishing Partner) Katso kaikki tämän artikkelin videot
kuinka monta mestaruutta punaisella soxilla on
Geometria , matematiikan haara, joka koskee yksittäisten esineiden muotoa, eri objektien välisiä paikkasuhteita ja ympäröivän tilan ominaisuuksia. Se on yksi matematiikan vanhimmista haaroista, joka on syntynyt vastauksena sellaisiin käytännön ongelmiin, joita havaitaan tutkimuksessa, ja sen nimi on johdettu kreikkalaisista sanoista, jotka tarkoittavat maapallon mittausta. Lopulta ymmärrettiin, että geometrian ei tarvitse rajoittua vain tasaisten pintojen (tasogeometria) ja jäykkien kolmiulotteisten esineiden (kiinteä geometria) tutkimiseen, mutta jopa abstrakteimmatkin ajatukset ja kuvat saatetaan esittää ja kehittää geometrisesti.
Tämä artikkeli alkaa lyhyellä opastuksella geometrian päähaaroille ja jatkuu sitten laajaan historialliseen käsittelyyn. Saadaksesi tietoa geometrian tietyistä haaroista, katso Euklidinen geometria, analyyttinen geometria, projektiivinen geometria, differentiaaligeometria, ei-euklidinen geometria ja topologia.
Useissa muinaisissa kulttuureissa siellä kehitettiin geometrinen muoto, joka soveltuu fyysisten esineiden pituuksien, alueiden ja tilavuuksien välisiin suhteisiin. Tämä geometria kodifioitiin Euclidissa Elementit noin 300bce10 aksiooman tai postulaatin perusteella, joista useita satoja lauseita osoitettiin deduktiivisella logiikalla. Elementit vertauskuva aksiomaattis-deduktiivisesta menetelmästä vuosisatojen ajan.
Analyyttinen geometrian aloitti ranskalainen matemaatikko René Descartes (1596–1650), joka otti käyttöön suorakulmaiset koordinaatit pisteiden paikantamiseksi ja viivojen ja käyrien esittämiseksi algebrallisilla yhtälöillä. Algebrallinen geometria on kohteen moderni jatke moniulotteisiin ja ei-euklidisiin tiloihin.
Projektiivinen geometria sai alkunsa ranskalaiselta matemaatikolta Girard Desarguesilta (1591–1661) käsittelemään niitä geometristen kuvioiden ominaisuuksia, joita ei muuteta heijastamalla kuvaa tai varjoa toiselle pinnalle.
Saksalainen matemaatikko Carl Friedrich Gauss (1777–1855) aloitti maanmittauksen ja geodesian käytännön ongelmien yhteydessä differentiaaligeometrian kentän. Käyttämällä differentiaalilaskua hän luonnehti luonnostaan käyrien ja pintojen ominaisuudet. Hän esimerkiksi osoitti, että sylinterin sisäinen kaarevuus on sama kuin tason, mikä voidaan nähdä leikkaamalla sylinteri akselia pitkin ja litistämällä, mutta ei sama kuin pallo , jota ei voida litistää ilman vääristymiä.
1800-luvulta lähtien erilaiset matemaatikot korvaavat vaihtoehtoja Euclidin rinnakkaispostulaatille, joka nykyaikaisessa muodossaan lukee, kun annettu viiva ja piste, joka ei ole suoralla, on mahdollista piirtää täsmälleen yksi viiva annetun pisteen läpi linjan kanssa yhdensuuntaisesti. He toivoivat osoittavan, että vaihtoehdot olivat loogisesti mahdottomia. Sen sijaan he havaitsivat, että on olemassa johdonmukaisia ei-euklidisia geometrioita.
Topologia, geometrian nuorin ja kehittynein haara, keskittyy geometristen kohteiden ominaisuuksiin, jotka pysyvät muuttumattomina jatkuvan muodonmuutoksen - kutistumisen, venyttämisen ja taittumisen, mutta eivät repeämisen. Topologian jatkuva kehitys on peräisin vuodelta 1911, jolloin hollantilainen matemaatikko L.E.J. Brouwer (1881–1966) esitteli aiheeseen yleisesti sovellettavia menetelmiä.
Aikaisimmat tunnetut yksiselitteiset esimerkit kirjallisista muistioista - vuodelta Egyptistä ja Mesopotamiasta noin vuonna 3100bce- osoita, että muinaiset kansat olivat jo alkaneet suunnitella matemaattisia sääntöjä ja tekniikoita, jotka olivat hyödyllisiä maa-alueiden kartoittamiseen, rakennusten rakentamiseen ja varastosäiliöiden mittaamiseen. Alku noin 6. vuosisadallabce, kreikkalaiset keräsivät ja laajensivat tätä käytännön tietoa ja yleistivät siitä abstraktin aiheen, joka nykyisin tunnetaan nimellä geometria, kreikkalaisten sanojen yhdistelmästä geo (Maa) ja metron (mitta) maan mittaamiseksi.
kreikkalais-roomalaisen maailman matemaatikot Tämä kartta ulottuu vuosituhannelle merkittävistä kreikkalais-roomalaisista matemaatikoista Thalesista Miletoksesta (n. 600bce) Hypatialle Aleksandriasta (noin 400Tämä). Encyclopædia Britannica, Inc.
Sen lisäksi, että kuvataan joitain antiikin kreikkalaisten saavutuksia, erityisesti Euclidin loogista geometrian kehitystä Elementit , tässä artikkelissa tarkastellaan joitain geometrian sovelluksia tähtitieteeseen, kartografiaan ja maalaamiseen klassisesta Kreikasta läpi keskiaikainen Islam ja renessanssin Eurooppa. Se päättyy lyhyellä keskustelulla laajennuksista ei-euklidisiin ja moniulotteisiin geometrioihin modernilla aikakaudella.
Geometrian alkuperä on arjen huolenaiheissa. Perinteinen tili, joka on säilynyt Herodotoksessa Historia (5. vuosisatabce), uskotaan egyptiläisille keksiä kartoitusta kiinteistöarvojen palauttamiseksi vuosittaisen Niilin tulvan jälkeen. Vastaavasti halu innostaa tuntemaan kiinteiden lukujen määrät, jotka johtuvat tarpeesta arvioida kunnianosoitusta, varastoida öljyä ja viljaa sekä rakentaa patoja ja pyramideja. Jopa kolme epäselvä muinaisten aikojen geometriset ongelmat - kaksinkertaistaa a kuutio , leikkaa kulma ja neliö ympyrä, joista kaikista keskustellaan myöhemmin - syntyivät todennäköisesti käytännön asioista, uskonnollisista rituaaleista, ajankäytöstä ja rakentaminen vastaavasti Välimeren Kreikan esivaltioiden yhteiskunnissa. Kreikan myöhemmän geometrian pääaihe, kartioleikkausten teoria, johtui sen yleisestä tärkeydestä ja ehkä myös alkuperästä sen soveltamisesta optiikkaan ja tähtitieteeseen.
Vaikka monet muinaiset yksilöt, tunnetut ja tuntemattomat, myötävaikuttivat aiheeseen, kukaan ei vastannut Eukleidin ja hänen vaikutuksiaan Elementit geometriasta, nyt 2300 vuotta vanha kirja, joka on yhtä tuskallisen ja huolellisen tutkimuksen kohteena kuin Raamattu. Euclidista tiedetään kuitenkin paljon vähemmän kuin Mooseksesta. Itse asiassa ainoa asia, joka tunnetaan kohtuullisella varmuudella, on se, että Euclid opetti Aleksandrian kirjastossa Ptolemaios I: n hallituskaudella (323–285 / 283bce). Euclid kirjoitti geometrian lisäksi myös tähtitieteeseen ja optiikkaan ja ehkä myös mekaniikkaan ja musiikkiin. Vain Elementit , joka on laajasti kopioitu ja käännetty, on säilynyt ehjänä.
Eukleides Elementit oli niin kattava ja selvästi kirjoitettu, että se kirjaimellisesti hävitti edeltäjänsä työn. Se, mitä Kreikan geometriasta tunnetaan ennen häntä, tulee ensisijaisesti Platonin ja Aristoteleen sekä myöhempien matemaatikkojen ja kommentaattoreiden lainaamista kappaleista. Muun muassa kallisarvoinen niiden säilyttämät esineet ovat joitain tuloksia ja Pythagorasin yleinen lähestymistapa ( c. 580– c. 500bce) ja hänen seuraajansa. Pythagorealaiset vakuuttivat itsensä siitä, että kaikki asiat ovat numeroita tai velkaa heidän suhteensa. Oppi antoi matematiikalle erittäin tärkeän merkityksen tutkimisessa ja maailman ymmärtämisessä. Platonilla oli samanlainen näkemys, ja Pythagorasin tai Platonin vaikutteisiin filosofeihin kirjoitettiin usein hurmioivasti geometriasta avaimena maailmankaikkeus . Siten muinainen geometria sai yhteyden ylevä täydentämään maanläheistä alkuperää ja mainettaan tarkan päättelyn esimerkkinä.
Muinaisten rakentajien ja maanmittaajien oli pystyttävä rakentamaan suorakulmat kentälle kysynnän mukaan. Egyptiläisten käyttämä menetelmä sai heidät nimeksi köydenvetäjät Kreikassa, ilmeisesti siksi, että he käyttivät köyttä rakentamisohjeidensa laatimiseen. Yksi tapa, jolla he olisivat voineet käyttää köyttä suorakulmioiden rakentamiseen, oli merkitä silmukkainen köysi solmuilla niin, että köyden on muodostettava suorakulmio, kun sitä pidetään solmuissa ja kiristetään tiukasti. Yksinkertaisin tapa suorittaa temppu on ottaa köysi, jonka pituus on 12 yksikköä, tehdä solmu 3 yksikköä toisesta päästä ja toinen 5 yksikköä toisesta päästä ja solmia päät sitten yhteen muodostaen silmukka, kuten kuvassa animaatio. Egyptin kirjanoppineet eivät kuitenkaan ole jättäneet meille ohjeita näistä menettelyistä, varsinkaan vihjeitä siitä, että he tiesivät yleistävän ne Pythagoraan lauseen saamiseksi: suoraa kulmaa vastapäätä olevan suoran neliö on yhtä suuri kuin kahden muun neliön summa sivuilla. Vastaavasti muinaisen Intian vedillisissä kirjoituksissa on nimeltään osioita sulvasutra s tai köyden säännöt uhrialttarien tarkalle sijainnille. Vaaditut suorakulmat tehtiin köysillä, jotka oli merkitty antamaan triadit (3, 4, 5) ja (5, 12, 13).
Babylonian savilevyissä ( c. 1700–1500bce) nykyajan historioitsijat ovat löytäneet ongelmia, joiden ratkaisut osoittavat, että Pythagoraan lause ja jotkut erityiset kolmikot olivat tunnettuja yli tuhat vuotta ennen Euclidia. Satunnaisesti valmistetulla suorakulmaisella kolmiolla on kuitenkin hyvin epätodennäköistä, että sen kaikki sivut ovat mitattavissa samalla yksiköllä - toisin sanoen jokaisella puolella jonkin yleisen mittayksikön kokonaislukukerroin. Tämä tosiasia, joka tuli järkyttyneeksi, kun pythagorealaiset löysivät sen, sai aikaan käsityksen ja teorian vertailukelpoisuudesta.
Muinaisen perinteen mukaan Miletoksen Thales, joka asui ennen Pythagorasta 6. vuosisadallabce, keksi tavan mitata saavuttamattomia korkeuksia, kuten Egyptin pyramidit. Vaikka mikään hänen kirjoituksistaan ei säily, Thales on ehkä tiennyt babylonialaisesta havainnosta, että samanlaisilla kolmioilla (kolmioilla, joilla on sama muoto, mutta eivät välttämättä samankokoiset), kummankin vastaavan sivun pituus kasvaa (tai pienenee) saman kerrannaisella. Tornin korkeuden määrittäminen samanlaisilla kolmioilla on esitetty kuvassa. Muinaiset kiinalaiset saavuttivat korkeuden ja etäisyyksien, joihin ei päästä käsiksi, toista reittiä käyttäen toisiaan täydentäviä suorakulmioita, kuten seuraavassakuva, jonka voidaan osoittaa tuottavan vastaavia tuloksia kuin Kreikan kolmioihin liittyvässä menetelmässä.
Kiinalaisen ja kreikkalaisen geometrisen lauseen vertailu Kuvio havainnollistaa kiinalaisten täydentävien suorakulmioiden teoreeman ja vastaavien kreikkalaisten kolmioiden teoreeman vastaavuutta. Encyclopædia Britannica, Inc.
Noin 3500 vuotta sitten kirjoitettu babylonialainen kiilahihna käsittelee patoja, kaivoja, vesikelloja ja kaivauksia koskevia ongelmia. Siinä on myös harjoitus pyöreisiin koteloihin, joiden oletettu arvo on π = 3. Kuningas Salomon uima-altaan urakoitsija, joka teki 10 kyynärän poikki ja 30 kyynärää ympäri lampi (1.Kuninkaiden kirja 7:23), käytti samaa arvoa. Heprealaisten olisi kuitenkin pitänyt ottaa π Egyptiläisiltä ennen kuin ylittävät Punainenmeri , Rhind-papyrus ( c. 2000bce; muinaisen egyptiläisen matematiikan päälähde) viittaa π = 3,1605.
Ympyrän alueen tuntemisella oli käytännön arvoa faraon kunnianosoitusta seuranneille virkamiehille sekä alttarien ja uima-altaiden rakentajille. Ahmes, kirjuri, joka kopioi ja merkitty Rhind-papyrus ( c. 1650bce), on paljon sanottavaa sylinterimäisistä aitoista ja pyramideista, kokonaisina ja katkaistuina. Hän pystyi laskemaan niiden määrän ja, kuten käy ilmi, kun hän otti egyptiläisen seked , vaakasuora etäisyys, joka liittyy yhden kyynärän pystysuoraan nousuun, pyramidin kaltevuuden määrittelevänä määränä hän tiesi jotain vastaavista kolmioista.
Copyright © Kaikki Oikeudet Pidätetään | asayamind.com