Satunnaismuuttuja on numeerinen kuvaus tilastollisen kokeen tuloksesta. Satunnainen muuttuja, joka voi olettaa vain äärellisen määrän tai ääretön arvosekvenssin sanotaan olevan erillinen; sellaisen, joka voi ottaa minkä tahansa arvon jollakin aikavälillä reaalilukurivillä, sanotaan olevan jatkuva. Esimerkiksi satunnaismuuttuja, joka edustaa tietyssä jälleenmyyjässä yhden päivän aikana myytyjen autojen lukumäärää, olisi erillinen, kun taas satunnaismuuttuja, joka edustaa henkilön painoa kilogrammoina (tai puntina), olisi jatkuva.
Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma kuvaa, kuinka todennäköisyydet jakautuvat satunnaismuuttujan arvoihin. Diskreetille satunnaismuuttujalle x , todennäköisyysjakauma määritetään todennäköisyysmassafunktiolla, jota merkitään f ( x ). Tämä toiminto antaa todennäköisyyden jokaiselle satunnaismuuttujan arvolle. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktion kehittämisessä on täytettävä kaksi ehtoa: (1) f ( x ): n on oltava negatiivinen satunnaismuuttujan jokaiselle arvolle, ja (2) satunnaismuuttujan kunkin arvon todennäköisyyksien summan on oltava yhtä.
Jatkuva satunnaismuuttuja voi ottaa minkä tahansa arvon reaalilukurivin tai intervallikokoelman välissä. Koska missä tahansa aikavälissä on ääretön määrä arvoja, ei ole järkevää puhua todennäköisyydestä, että satunnaismuuttuja saa tietyn arvon; sen sijaan otetaan huomioon todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja on tietyllä aikavälillä.
Jatkuvassa tapauksessa todennäköisyysmassafunktion vastine on todennäköisyystiheysfunktio, jota merkitään myös merkillä f ( x ). Jatkuvalle satunnaismuuttujalle todennäköisyystiheysfunktio antaa funktion korkeuden tai arvon millä tahansa tietyllä arvolla x ; se ei suoraan anna todennäköisyyttä satunnaismuuttujalle tietyn arvon saamiseksi. Kaavion alla oleva alue on kuitenkin f ( x ), joka vastaa jotakin aikaväliä, joka saadaan laskemalla integraalin integraali f ( x ) antaa tälle aikavälille todennäköisyyden, että muuttuja saa arvon kyseisen aikavälin sisällä. Todennäköisyystiheysfunktion on täytettävä kaksi vaatimusta: (1) f ( x ): n on oltava negatiivinen satunnaismuuttujan jokaiselle arvolle, ja (2) olennainen osa Kaikkien satunnaismuuttujan arvojen on oltava yhtä.
Satunnaismuuttujan odotettu arvo tai keskiarvo - merkitty ON ( x ) tai μ - on painotettu keskiarvo arvoista, jotka satunnaismuuttuja voi olettaa. Diskreetissä tapauksessa painot saadaan todennäköisyysmassafunktiolla ja jatkuvassa tapauksessa painot todennäköisyystiheysfunktiolla. Kaavat erillisten ja jatkuvien satunnaismuuttujien odotettujen arvojen laskemiseksi annetaan yhtälöillä 2 ja 3, vastaavasti.
ON ( x ) = Σ x f ( x ) (kaksi)
ON ( x ) = ∫ x f ( x ) d x (3)
Satunnaismuuttujan varianssi, jota merkitään Var ( x ) tai σkaksi, on painotettu keskiarvo neliöpoikkeamista keskiarvosta. Diskreetissä tapauksessa painot saadaan todennäköisyysmassafunktiolla ja jatkuvassa tapauksessa painot todennäköisyystiheysfunktiolla. Kaavat erillisten ja jatkuvien satunnaismuuttujien varianssien laskemiseksi annetaan yhtälöillä 4 ja 5, vastaavasti. keskihajonta , merkitty σ, on varianssin positiivinen neliöjuuri. Koska keskihajonta mitataan samoissa yksiköissä kuin satunnaismuuttuja ja varianssi mitataan neliöyksiköinä, standardipoikkeama on usein ensisijainen mitta.
Missä( x ) = σkaksi= Σ ( x - μ)kaksi f ( x ) (4)
Missä( x ) = σkaksi= ∫ ( x - μ)kaksi f ( x ) d x (5)
Kaksi yleisimmin käytettyä erillistä todennäköisyysjakaumaa ovat binomi ja Poisson. Binomiaalinen todennäköisyysmassatoiminto (yhtälö 6) antaa sen todennäköisyyden x onnistumisia tapahtuu vuonna n binomikokeen kokeet.
Binomikokeella on neljä ominaisuutta: (1) se koostuu sekvenssistä n identtiset kokeet; (2) kaksi lopputulosta, onnistuminen tai epäonnistuminen, ovat mahdollisia jokaisessa kokeessa; (3) onnistumisen todennäköisyys missä tahansa kokeessa, merkitty s , ei muutu oikeudenkäynnistä toiseen; ja (4) kokeet ovat riippumattomia. Oletetaan esimerkiksi, että tiedetään, että 10 prosentilla kahden vuoden ikäisten autojen omistajista on ollut ongelmia autonsa sähköjärjestelmässä. Jos haluat laskea todennäköisyyden löytää tarkalleen 2 omistajaa, joilla on ollut sähköjärjestelmäongelmia, 10 omistajan ryhmästä, binomi-todennäköisyysmassatoimintoa voidaan käyttää asettamalla n = 10, x = 2 ja s = 0,1 yhtälössä 6; tällöin todennäköisyys on 0,1937.
Poissonin todennäköisyysjakaumaa käytetään usein mallina laitokseen tietyn ajanjakson aikana saapuvien lukumäärästä. Esimerkiksi satunnainen muuttuja voidaan määritellä puhelinsoittojen lukumääräksi, joka saapuu lentoyhtiön varausjärjestelmään 15 minuutin aikana. Jos keskimääräinen saapumisten määrä 15 minuutin jakson aikana on tiedossa, yhtälön 7 antamaa Poissonin todennäköisyysmassafunktiota voidaan käyttää laskemaan todennäköisyys x saapuvat.
Oletetaan esimerkiksi, että 15 minuutin aikana saapuvien puheluiden keskimääräinen lukumäärä on 10. Laske todennäköisyys, että 5 puhelua tulee seuraavan 15 minuutin aikana, μ = 10 ja x = 5 korvataan yhtälössä 7, jolloin todennäköisyys on 0,0378.
Tilastoissa yleisimmin käytetty jatkuva todennäköisyysjakauma on normaali todennäköisyysjakauma. Kaavio, joka vastaa normaalia todennäköisyystiheysfunktiota, jonka keskiarvo on μ = 50 ja keskihajonta σ = 5, esitetään. Kuten kaikki normaalit jakautumiskaaviot, se on kellon muotoinen käyrä. Normaalin todennäköisyysjakauman todennäköisyydet voidaan laskea käyttämällä tilastotaulukoita normaalille normaalille todennäköisyysjakaumalle, joka on normaali todennäköisyysjakauma, jonka keskiarvo on nolla ja yhden keskihajonta. Yksinkertaista matemaattista kaavaa käytetään minkä tahansa normaalin todennäköisyysjakauman arvon muuttamiseen keskiarvolla μ ja keskihajonnalla σ vastaavaksi arvoksi normaalille normaalijakaumalle. Normaalin normaalijakauman taulukoita käytetään sitten laskemaan sopivat todennäköisyydet.
kuinka giuseppe garibaldi vaikutti Italian yhdistymiseen
normaali todennäköisyysjakauma Kuva 3: Normaali todennäköisyysjakauma, jonka keskiarvo ( μ ) 50 ja keskihajonta ( σ ) / 5. Encyclopædia Britannica, Inc.
On olemassa monia muita erillisiä ja jatkuvia todennäköisyysjakaumia. Muita laajalti käytettyjä erillisiä jakaumia ovat geometrinen, hypergeometrinen ja negatiivinen binomi; muita yleisesti käytettyjä jatkuvia jakaumia ovat yhtenäinen, eksponentiaalinen, gamma, khi-neliö, beeta, t ja F.
